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Resumo    da    Teoria Problemas Resolvidos Problemas + Difíceis
1. Teoria Básica

Neste capítulo vamos estudar alguns tipos de fonte de tensão e corrente utilizadas na solução de circuitos elétricos. Existem vários tipos, porém vamos nos concentrar, basicamente, em três tipos. São elas: a função impulso, a função salto ou degrau e a função rampa. Estamos, fundamentalmente, interessados em estudar o comportamento de determinado circuito elétrico quando ele é submetido a diferentes tipos de estímulo. Isto devido ao fato de sabermos que circuitos elétricos podem substituir modelos mecânicos, hidráulicos, etc ... com grande vantagem em termos de custos, tempo e detalhes em sua análise. Assim, por exemplo, no projeto da suspensão de um carro, podemos idealizá-la através de um circuito elétrico e estudarmos seu comportamento em relação a diferentes valores dos componentes, bem como sua resposta a vários tipos de estímulos elétricos. Para isso utilizamos as fontes que estudaremos a seguir. Após os estudos detalhados, podemos fazer a transformação dos valores dos componentes utilizados no circuito elétrico para seus equivalentes mecânicos.

2. Função Impulso

A função impulso obedece a algumas características peculiares. Assim, para que uma função possa ser considerada uma função impulso, deve apresentar as seguintes características quando seu parâmetro tende a zero:

Existem muitas funções que satisfazem essas exigências. Porém, no momento estamos interessados em uma função chamada função Delta de Dirac representada por d(t). Matematicamente, a função impulso é definida da seguinte maneira:

+∞ -∞ K d(t) dt = K

Isto é válido se t = 0 e será igual a zero para t diferente de zero. Observe que a integral da função, ou seja, a área sob a função impulso é constante. Essa área representa a intensidade do impulso. A função ilustrada na figura abaixo, à esquerda, gera uma função impulso quando ε → 0. Note que se calcularmos a área sob a curva encontraremos o valor 1. Na figura, à direita, temos o símbolo para representar a função impulso centrada em zero.

graf_delta21-2J.png

Obviamente, é possível representar a função impulso em um outro instante diferente de zero. Na figura abaixo vemos dois exemplos.

graf_delta21-2K.png

Na figura ao lado vemos a representação de duas funções impulso onde a primeira está deslocada para a = 2, sendo sua intensidade igual a K. A segunda está deslocada para a = 7, e sendo sua intensidade igual a K1.



Uma propriedade importante da função impulso é a propriedade de filtragem, que pode ser expressa pela equação:

+∞ -∞ f(t) d(t - a) dt= f(a)
onde supomos que a função f(t) seja contínua em t= a, ou seja, no instante em que ocorre o impulso. Essa equação mostra que a função impulso filtra tudo menos o valor de f(t) em t = a. Para demonstrar, observe que d(t - a) é zero em todos os instantes de tempo exceto em t= a, e portanto a integral pode ser escrita como
I = ∫ +∞ -∞ f(t) d(t - a) dt = a + εa - ε f(t) d(t - a) dt

Mas, como f(t) é contínua em t= a, a função tende para o valor f(a) quando t → a e portanto

I = ∫ a + ε a - ε f(a) d(t - a) dt= f(a) a + ε a - εd(t - a) dt= f(a)

Muitos livros e até mesmo professores, utilizam outra representação para a função impulso. Neste site usaremos as duas notações. Veja abaixo a equivalência.

função impulso    K u0(t - a)   =   K d(t - a)


Uma visão prática da função Impulso

Na literatura é comum assumir que a função impulso existe entre os tempos 0- e 0+, quando estiver centrada em zero. Esses tempos são extremamente curtos. Na prática, poderíamos simular utilizando uma fonte de tensão conhecida e uma chave. Assim, ao ligar a chave rapidamente surgiria uma tensão na saída. Porém, imediatamente após ligarmos a chave, num tempo extremamente curto, desligaríamos a mesma. Esse processo dá origem a uma tensão na saída de valor igual a tensão da fonte, mas o tempo que essa tensão existe é muito pequeno.

Uma pergunta: isso tem alguma utilidade?

Suponha que estamos interessados em estudar o comportamento de um sistema elétrico ou de um sistema mecânico. Imagine um pêndulo. Sim, aquele pedaço de fio de comprimento conhecido onde em uma das pontas está fixada uma massa de valor conhecido e a outra ponta está fixada no teto, por exemplo. Agora imagine o pêndulo em repouso. Se não tomarmos uma atitude o pêndulo continuará em repouso indefinidamente. E, nesse caso, não há o que estudar. Então vamos tomar uma atitude. Vamos dar um pequeno "tapinha" lateral até que a massa sofra um deslocamento vertical em relação ao repouso. Perceba que com esse deslocamento, o pêndulo ganhou uma energia gravitacional igual a m g h. Com essa energia inicial o pêndulo oscilará e poderemos estudar seu comportamento.

Voltando ao caso elétrico, fica evidente que quando usamos uma fonte impulso, a ideia é fornecer uma energia inicial ao sistema e com isso teremos as chamadas condições iniciais, condição necessária para começarmos a estudar o comportamento do sistema.

3. Função Degrau ou Salto

Na análise de transitórios, as operações de comutação podem ocasionar mudanças bruscas nas tensões e correntes do circuito. Essas descontinuidades podem ser representadas pelas funções degrau e impulso. A função degrau é representada de várias maneiras em livros didáticos. Neste site usaremos a notação

função degrau     u -1(t)

Essa notação indica que a função é nula para t < 0 e para t > 0 apresenta um valor constante e diferente de zero. Matematicamente podemos defini-la como

K   u -1(t)   =   0       t < 0

K   u -1(t)   =   K       t > 0

Na figura abaixo vemos a ilustração gráfica da função . Observe a concordância com a definição acima.

graf_degrau21-3J.png

Quando K = 1 a função definida acima é chamada função degrau UNITÁRIA. A função degrau não é definida em t = 0. Quando necessário definir a transição de 0- para 0+, supomos que ela ocorre de forma linear, isto é, que nesse intervalo temos

K   u -1(0)   =   0,5 K

Da mesma forma que a função impulso, a função degrau pode sofrer deslocamento no tempo. Na figura abaixo vemos a representação gráfica de uma função deslocada no tempo.

graf_degrau21-3K.png

Note que quando a > 0, o degrau ocorre à direita da origem. Então, quando a < 0, o degrau ocorre à esquerda da origem. Assim, uma função degrau igual a K para t < a pode ser escrita como:

K   u -1(a - t)   =   K       t < a

K   u -1(a - t)   =   0       t > a

Na figura abaixo vemos a ilustração gráfica da função . Observe a concordância com a definição acima.

graf_degrau21-3M.png

4. Função Rampa

A função rampa é definida por retas crescentes ou decrescentes. Como a função degrau ela pode ser representada de várias maneiras. Neste site usaremos as duas notações mostradas abaixo, conforme a conveniência.

função rampa     u -2(t)   =   t u -1(t)

Cabe lembrar que alguns livros usam a notação r(t) para a função rampa. O resultado é o mesmo.

Essa notação indica que a função é nula para t < 0 e para t < 0 apresenta um valor linearmente crescente ou linearmente decrescente, dependendo do coeficiente angular K da reta. Matematicamente podemos defini-la como

K   u -2(t)   =   0       t < 0

K   u -2(t)   =   K       t > 0

Na figura abaixo vemos a ilustração gráfica da função rampa. Observe a concordância com a definição acima. Note que, neste caso, o valor de K é igual a 1. Como ele representa o coeficiente angular da reta, isto significa que a reta do gráfico faz um ângulo de 45° com o eixo horizontal.

graf_rampa21-4J.png

Assim como as duas funções anteriores, a função rampa também pode ser deslocada no tempo. Na figura abaixo vemos a ilustração dessa condição.

graf_rampa21-4K.png

Note que quando a > 0, a função rampa ocorre à direita da origem. Então, quando a < 0, a rampa ocorre à esquerda da origem. Assim, uma função rampa igual a K para t < a pode ser escrita como:

K u -2 (a - t)   =   K (a - t)       t < a

K u -2 (a - t)   =   0       t > a

Na figura abaixo vemos a ilustração gráfica da função rampa nesta condição. Observe a concordância com a definição acima.

graf_rampa21-4M.png

Portanto, através da soma de uma sequência de rampas podemos criar ondas triangulares, dente de serra e muitas outras. Use a imaginação.


5. Relação entre as três funções

As três funções estudadas estão relacionadas através de integração e derivação. As duas equações abaixo definem que a função impulso pode ser obtida através da derivação da função degrau. E a função degrau pode ser obtida pela derivação da função rampa.

equa21-5J.png
equa21-5K.png



Por outro lado, a função degrau pode ser obtida através da integração da função impulso, enquanto que a função rampa pode ser obtida através da integração da função degrau. É o que ilustra as duas equações abaixo.

equa21-5M.png
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6. Produto entre funções

Usando a propriedade de filtragem podemos realizar produto entre funções obtendo valores adequados ao nosso interesse. Vamos supor a função f(t) = sen 314 t. Da função sabemos que f = 50 Hz, e portanto seu período é 0,02 s. Veja na figura abaixo o gráfico dessa função.

seno21-6J.png

Suponha que para um experimento vamos necessitar de uma forma de onda conforme podemos ver na figura abaixo. Observe que temos uma parte positiva e outra parte negativa. Desta forma, devemos providenciar uma função degrau que permita a passagem da parte positiva e outra função degrau que permita a passagem da parte negativa.

seno21-6K.png

Para a parte positiva vamos usar a função u-1(t - 5 ms) - u-1(t - 10 ms) e para a parte negativa - u-1(t - 10 ms) + u-1(t - 20 ms). Assim, geramos dois pulsos que permitem obter a forma desejada para o experimento.

pulso21-6M.png

Na figura ao lado vemos a ilustração da formação do pulso necessário para formarmos a parte positiva da forma de onda, ou seja, entre o tempo de 5 ms e 10 ms. Observe que o pulso positivo, u-1(t - 5 ms), começa após 5 ms do tempo zero. Como queremos que ele não exista depois do tempo 10 ms, então devemos subtrair a mesma quantidade no tempo igual a 10 ms. Por isso usamos a função - u-1(t - 10 ms).

Assim, a partir do tempo 10 ms as duas funções se cancelam, gerando o pulso que desejamos. Este proceso permite que tenhamos na saída a parte positiva da forma de onda. Agora, para conseguirmos a parte negativa, devemos ter um pulso abaixo do eixo x, ou seja, negativo. Então usamos a função - u-1(t - 10 ms), que gerará um pulso negativo a partir do tempo 10 ms. E para cancelar o pulso no tempo 20 ms, usamos a mesma técnica usada anteriormente, somando a função + u-1(t - 20 ms). Então, a partir do tempo 20 ms, as duas funções se cancelam, gerando o pulso necessário para obtermos a parte negativa da forma de onda. Não menos importante é descrevê-la matematicamente. Usando a propriedade de multiplicação de funções, matematicamente representamos esta função como:

f(t) = sen 314 t [ u-1(t - 5 ms) - u-1(t - 10 ms) - u-1(t - 10 ms) + u-1(t - 20 ms)]

De uma forma mais reduzida, podemos escrever:

f(t) = sen 314 t [ u-1(t - 5 ms) - 2. u-1(t - 10 ms) + u-1(t - 20 ms)]

Este trabalho gráfico teve a finalidade de demonstrar como podemos elaborar a função adequada aos nossos interesses.


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