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Resumo    da    Teoria Problemas Resolvidos Problemas + Difíceis

Este capítulo consta dos ítens abaixo. Caso queira ir direto a algum ítem, clique nele.

1 - Teoria Básica   clique aqui!

2 - Relação entre Seno e Cosseno   clique aqui!

    2.1 - Parâmetros das Funções Seno e Cosseno   clique aqui!

    2.2 - Relações de Fase   clique aqui!

    2.3 - Conversão de Funções   clique aqui!

    2.4 - Relações Trigonométricas Importantes   clique aqui!

3 - Fasor   clique aqui!

    3.1 - Soma de Fasores   clique aqui!

    3.2 - Soma de Fasores usando a Lei dos Cossenos   clique aqui!

    3.3 - Lei do Seno   clique aqui!

4 - Notação Complexa do Fasor   clique aqui!

    4.1 - Forma Retangular   clique aqui!

    4.2 - Forma Polar   clique aqui!

    4.3 - Soma de Fasores com Notação Complexa   clique aqui!

5 - Relações Fasoriais em R, L e C   clique aqui!

    5.2 - Comportamento do Capacitor   clique aqui!

    5.3 -Comportamento do Indutor   clique aqui!

6 - Impedância   clique aqui!

    6.1 - Impedância com R e C   clique aqui!

   6.2 - Impedância com R e L   clique aqui!

7 - Admitância   clique aqui!

1. Teoria Básica

A partir deste momento estamos cameçando o estudo dos circuitos elétricos eseu comportamento com relação à corrente alternada. Começaremos introduzindo o conceito de fasores e mostrar quão útil é esta ferramenta para os cálculosque envolvem variáveis dependentes da frequência.

Estamos, fundamentalmente, interessados na resposta em regime permanentequando os circuitos são excitados por funções senoidais ou cossenoidais. Assim, as condições iniciais e os transitórios serão ignorados. Vale ressaltar que por usarmosfunções trigonométricas, é fundamental o aluno dominar este conteúdo matemático. Casocontrário, será difícil o mesmo entender todas as transformações necessárias à soluçãodos problemas. Além disso, conhecimento sobre números complexos também éimportante.

2. Relação entre Seno e Cosseno

Uma das primeiras coisas que devemos salientar é que as funções seno e cossenoestão defasadas entre si de 90°. A função cosseno está adiantada de 90° em relação à função seno.

fig51-1J.png

Repare na figura ao lado, os gráficos da função sen(x) e cos(x). Aqui, percebemos claramente o que foi dito acima.

Por outro lado, sempre representaremos as fontes de tensão ou de corrente, por funçõessenoidais ou cossenoidais. Uma característica dessas funções é que são periódicas e seu períodoé igual a radianos.

É perfeitamente possível expressarmos uma função seno como uma função cossenoe vice-versa.

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2.1. Parâmetros das funções Seno e Cosseno

Seja uma fonte de tensão descrita pela seguinte função:

v = Vmax sen (ω t + φ)

Um dos parâmetros que está presente na função é Vmax. O valor de Vmax indica qual o valor máximo que v atinge (veja na figura acima). Quando multiplicamosesse valor por sen (ωt), temos o valor de v para qualquer instante t. Por isso,o valor de v (escrito em letra minúscula) é conhecido por valor instantâneo.Vmax, em muitas literaturas técnicas, é conhecido como valor de pico, podendo ser representado por Vp.

Não devemos esquecer que a função seno varia de -1 a +1. Logo, a variação total de v,situa-se entre - Vmax e + Vmax. Este valor é conhecido, normalmente, como valor de pico-a-pico. A mesma coisa acontece se representarmos v como uma função cosseno, já que a mesma também varia de -1 a +1.

Outro parâmetro que aparece na equação é ω, que é conhecido como frequência angulare tem relação com a frequência da função pela seguinte equação:

ω = 2π f

Mais um parâmetro: φ, que representa o deslocamento angular com relaçãoao eixo y. Este parâmetro é também conhecido como fase.

A variável da função é representada pela letra t (tempo). Assim, podemos calcular o valor de vem qualquer instante t que desejarmos.

Vamos relembrar a relação entre frequencia f e o período T, conformepodemos ver nas equações abaixo.

T = 1/ f    ou    f = 1/ T

O período T é medido em segundos e a frequência f é medida emhertz.


2.2. Relações de Fase

As relações de fase que existem em funções trigonométricas podem ser representadaspor vetores girantes. O que vem a ser isso? Podemos desenhar um raio vetor em um círculoe estipularmos um valor inicial para o ângulo φ.

fig51-2J.png

Na figura ao lado vemos um exemplo de um vetor V defasado de um ângulo φcom relação ao vetor U. Adotamos a convenção trigonométrica onde os vetores sempre giram no sentido anti-horário.

Logo, percebemos que o vetor V está adiantado em relação ao vetor Ude um ângulo φ.

Por convenção dizemos que o Vetor U está com fase 0° e a partir desse ponto todos os outros vetoresserão relacionados à ele. Desta forma, o vetor V está adiantado de φ graus em relação ao vetor U.

Supondo φ = 60° e Vmax = 4 então podemos representar os dois vetores pelas seguintes funções:

U = 4 sen (ω t + 0°)

V = 4 sen (ω t + 60°)

Vamos ver como podemos representar essas funções em um gráfico em termos de ampitude x fase.

fig51-3J.png

Um erro muito comum que os alunos cometem é representar o ângulo φ (adiantado)para o lado direito do ponto de referência e não para o lado esquerdo. Mas se pensarmos que estar adiantado significa vir "antes", então fica claro que a senóide que está adiantadadeve passar "antes" pelo ponto de referência (neste caso, o eixo x). Isto justifica a figura acima.

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2.3. Conversão de Funções

Como foi dito anteriormente, é muito fácil transformar senos em cossenos e vice-versa.Vamos ver como podemos fazer estas transformações.

Para tanto, vamos mostrar um diagrama que facilita muito essas transformações. Lembre-se que giramos no sentido anti-horário. Mais uma vez fica claro que a função cosseno está adiantado de 90° emrelação à função seno.

fig51-4J.png

Veja como podemos representar o vetor A mostrado na figura acima. Note que este vetor está atrasado de 30° em relação ao eixo de + cos. Pela figura, a amplitude do vetor é igual a UM. Logo, podemos escrever que:

A = cos (ω t - 30°)

Note que como o vetor A está atrasado, especificamos isso colocando o sinal negativona frente do ângulo.

Vamos ver como transformar este vetor para a função seno. Repare que com relação ao eixo + senoo vetor A está adiantado de 60°, portanto devemos usar o sinal positivo na frente do ângulo. Assim:

A = sen (ω t + 60°)

As duas outras formas que podemos escrever o vetor A é usando as formas negativa das funções seno e cosseno. Preste atenção para o fato que em relação a - cos o vetor Aestá adiantado de  150° ou, o que é a mesma coisa, atrasado de 210°.   Portanto, podemos escrever de duas formas diferentes, ou seja:

A = - cos (ω t + 150°)

A = - cos (ω t - 210°)

Em relação à função - sen, devemos ficar atento para o fato que o vetor Aestá adiantado de 240° ou, o que é a mesma coisa, atrasado de 120°.    Portanto, podemos escrever de duas formas diferentes, ou seja:

A = - sen (ω t + 240°)

A = - sen (ω t - 120°)

Veja como é fácil fazer as transformações utilizando o diagrama acima. Agora, vamos escrevero vetor B usando o mesmo princípio. Tente entender o que foi feito.

B = sen (ω t + 210°)    ou    B = sen (ω t - 150°)

B = cos (ω t + 120°)    ou    B = cos (ω t - 240°)

B = - sen (ω t + 30°)    ou    B = - sen (ω t - 330°)

B = - cos (ω t + 300°)    ou    B = - cos (ω t - 60°)
atencao.png

Para que possamos comparar fases entre duas ondas senoidais, ambas devem estar escritascomo funções seno ou funções cosseno. Por isso é importante sabermos transformarde uma função em outra. Além disso, ambas devem possuir a mesma frequência, bem como amplitudes positivas.


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2.3.1. Exemplo

Vamos supor duas formas de onda com fases conforme as equações abaixo:

v = 5 sen(ωt + 50°)

i = 3 cos(ωt - 120°)

Repare que temos duas equações com funções diferentes. Logo, vamos transformar a função cosseno para a função seno. Assim, ficamos com:

i = 3 sen(ωt - 120°+ 90°)   ou   i = 3 sen(ωt - 30°)
fig51-5J.png

Agora podemos calcular de quantos graus as duas formas de onda estão defasadas entre si, pois estão expressasna mesma função trigonométrica. Note que a equação que representa i está atrasada de 30°em relação ao eixo y. E a equação que representa v está adiantada de 50° em relação ao eixo y. Assim, v encontra-se 80° adiantada em relação à i, como podemos facilmente constatar na figura acima.

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2.4. Relações Trigonométricas Importantes

Segue abaixo algumas relações trigonométricas importantes.

sen(- φ) = - sen(φ)

cos(- φ) = cos(φ)

sen2φ + cos2φ = 1

sen (2φ) = 2 sen φ cos φ

sen (φ ± β) = sen φ cos β ± sen β cos φ

cos (φ + β) = cos φ cos β - sen β sen φ

cos (φ - β) = cos φ cos β + sen β sen φ

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3. O Fasor

Podemos representar uma corrente ou tensão senoidal em uma dada frequênciapor dois parâmetros: uma amplitude e um ângulo de fase. A representaçãocomplexa de uma corrente ou tensão elétrica também é caracterizada por estes mesmos dois parâmetros. Assim, se tivermos uma função do tipo:

v = Vmax cos (ω t + φ)
podemos representá-la na forma complexa pela função abaixo.
v = Vmax e j(ω t + φ)

Podemos dizer que uma tensão elétrica está definida de forma exata se a amplitude e a faseestejam especificadas. Se em um circuito tivermos conhecimento da frequência, tudo que precisamosé conhecer as grandezas mencionadas acima. Desta forma, podemos simplificar a notação usando arepresentação na forma complexa, reduzindo-se a:

V = Vmax ∠ φ

Esta notação complexa simplificada é que chamamos de FASOR.

3.1. Soma de Fasores

Na solução de circuitos elétricos teremos que somar fasores quase a todo instante.Assim, vamos aprender como somar fasores. Suponhamos que temos duas tensões elétricas descritas pelas seguintes equações:

v1 = 3 sen(ωt + 0°)
a outra tensão é:
v2 = 4 sen(ωt + 90°)

Queremos, então, calcular a soma vsoma = v1 + v2. Repare que as duas tensões estão defasadas de 90°. Neste caso em particular, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para encontrarmos a amplitude resultante desta soma.

vsoma = √ (32 + 42) = 5

Agora falta calcular o ângulo entre vsoma e o eixo x. Como estamos frente a um triângulo retângulo, basta calcular o arcotangente do quociente entre o cateto oposto e o cateto adjacente, ou:

φ = arctan ( 4/ 3 ) = 53,13°

Já que temos a amplitude e a fase calculadas, podemos escrever a tensão resultantena forma trigonométrica e na polar, ou seja:

vsoma = 5 sen(ωt + 53,13°)

Vsoma = 5 ∠53,13°
fig51-6J.png

Veja na figura acima o diagrama fasorial (à esquerda) mostrando o resultado da soma das duas tensõeselétricas, bem como (à direita) a representação trigonométrica das tensões e sua soma.

Naturalmente que hoje todas as calculadoras modernas possuem as funções de transformaçãodas funções cartesianas para polar e vice-versa. A intenção foi mostrar, passo a passo, comopodemos calcular os parâmetros necessários à solução dos problemas usando uma matemática básica.

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3.2. Soma de Fasores pela Lei do Cosseno

A solução do exemplo acima foi fácil pois o ângulo entre os dois fasores era de 90°. Assim, foi possível usar o teorema de Pitágoras. Quando o ângulo não é 90°, 180° ou 270° temos que usar a chamada lei dos cossenos. Devemos prestar muita atenção nesta lei pois ela foi desenvolvida para encontrarmos o terceiro lado de um triângulo qualquer, desde que se conheça dois lados e o ângulo entre eles.

fig51-10J.png

Veja a representação de um triângulo na figura ao lado. Foi fornecido os lados a, b e oângulo φ formado por eles. . Devemos determinar o terceiro lado simbolizado pela letra x.Usando a lei dos cossenos, vamos obter o comprimento do terceiro lado que "fecha" o triângulo. A equação da lei dos cossenos é mostrada abaixo. Porém, quando trabalhamos com fasores ou vetores,encontrar o terceiro lado significa calcular a subtração dos fasores ou vetores.

Portanto, se utilizarmos essa equação com os dados do triângulo mostrado na figura acima, estaremos calculando a subtração e não a soma dos fasores ou vetores.

eq51-5J.png
eq 51-1

Então para calcularmos a soma de fasores ou vetores, devemos fazer uma pequena alteração na equação, como mostrada abaixo. Perceba a troca do sinal subtração pelo sinal adição naúltima parcela.Com isso resolvemos o problema. Assim, podemos usar o ângulo φ como sendo o ângulo entreos dois fasores. Outra forma seria manter o sinal menos e usar o ângulo com o seu suplemento, ou180° - φ. O resultado será o mesmo. Neste site usaremos, por simplicidade, a equação mostrada abaixo.

eq51-6J.png
eq 51-2

Além disso, se conhecermos as dimensões dos três lados do triângulo podemos calcular o ângulo entre quaisquer dois lados.Basta trabalharmos algebricamente a equação 51-1 e, tomando como referência o triângulo mostrado na figura acima,obtemos:

eq51-7J.png
eq 51-3

Exemplo 51.3.2

Vamos supor que tenhamos dois fasores representados por A = 10∠60° volts e B = 12∠0° volts

a)  Calcule o fasor V1 = B - A

b)  Calcule o fasor V2 = A + B.

  Solução

Item a

fasor51-1J.png

Veja na figura ao lado a representação dos dois fasores e também a representação do fasor resultante B - A. Perceba como o fasor resultante da subtração dos dois fasores "fecha" o triângulo. Como é indicado na figura e conformeenunciado do problema, o ângulo entre os fasores é de 60°. Como queremos a subtração dos fasores vamos aplicar a equação 51-1. Olhando para a equação percebemos que o x da equação é V1.Assim, substituindo pelos valores numéricos, temos:

V12 = 102 + 122 - 2. 10. 12 cos(60°)

Para encontrarmos o valor de V1 basta efetuarmos o cálculo e extrair a raiz quadrada do resultadoda equação anterior, ou:

|V1| = 11,136 volts

Este valor encontrado é o módulo de V1. Agora devemos calcular o ângulo que V1 faz com o eixo horizontal. Para isso vamos utilizar a equação 51-3 mostrada acima.Devemos prestar a máxima atenção em quem será x na equação. x sempre será o lado oposto ao ângulo que queremos determinar. Assim, no nosso caso, o fasor A será o x, pois ele é o ladooposto ao ângulo φ que queremos determinar. Então, fazendo as substituições numéricas, obtemos:

cos φ = (122 + 11,1362 - 102) / 2. 12. 11,136 = 0,629

Para determinarmos o ângulo φ, aplicamos a função arccos ao valor encontrado. Logo:

φ = arccos(0,629) = 51°

Porém, repare que a seta do fasor V1 aponta para baixo. Então o valor correto do ângulo φé negativo pois está abaixo do eixo horizontal. Logo, fasorialmente, podemos escrever V1 como:

V1 = 11,136∠-51°

Observe que se fosse pedido para calcular A - B, o módulo de V1 não se alteraria, somente o ânguloque estaria defasado de 180°. Logo, A - B = 11,136 ∠129°. Ou seja, apenas mudaria o sentido da seta que estaria apontando para cima.

Item b

fasor51-2J.png

Veja na figura ao lado a representação dos dois fasores e também a representação do fasor resultante V1 = A + B. Perceba que, graficamente, usamos a regra do paralelogramo para calcular o fasor resultante V1.Para encontrarmos o valor do módulo de V1, vamos utilizar a equação 51-2 pois estamos realizando uma soma de fasores. Nesta equação, x é representado por V1. Logo, fazendo a substituiçãonumérica temos:

V12 = 122 + 102 + 2. 12. 10. cos 60°

Efetuando o cálculo e extraindo a raiz quadrada do resultado encontramos o valor do módulo de V1, ou:

|V1| = 19,08 volts

Resta-nos calcular o ângulo φ. Usando a equação 51-3 e sabendo que o lado oposto ao ângulo φé representado pelo fasor A, então:

cos φ = (122 + 19,082 - 102) / 2. 12. 19,08 = 0,891

Para determinarmos o ângulo φ, aplicamos a função arccos ao valor encontrado. Logo:

φ = arccos(0,891) = 27°

Agora podemos escrever o fasor resultande da forma fasorial, ou:

V1 = 19,08∠27°

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3.3. Lei do Seno

Outra lei de extrema importância relacionada a triângulos é a lei do seno. Na figura abaixo,vemos um triângulo com seus três lados e seus três ângulos. Esta lei permite que,dado três variáveis quaisquer, calcule-se as outras três.

fig51-11J.png

Na figura vemos um triângulo dito acutângulo (qualquer ângulo interno é menor que 90°). Em verdade, esta leivale para qualquer tipo de triângulo, seja acutângulo, obtusângulo, ou retângulo. Além disso, não devemos esquecer que para qualquer tipo de triângulo, a soma de todos os ângulos internos deve somar 180°. Assim:

           φ + β + θ = 180°


Mostramos a equação que define a lei do seno na figura abaixo. Perceba que existe uma relação entre o tamanhodo lado do triângulo e o ângulo OPOSTO ao respectivo lado (representados pelas mesmas cores na figura acima).

eq51-8J.png
eq 51-4

Exemplo 51.3.3

Vamos voltar ao exemplo 51.3.2 e calcular os ângulos calculados no item a e b, porém agora utilizando a lei do seno.

Item a

Observando a figura do item a do exemplo 1, vemos que o lado oposto ao ângulo φ é o fasor A.E o lado oposto ao ângulo de 60° é o fasor resultante V1. Logo, conhecemos dois lados e um ângulo. Isso nos permite usar a lei do seno. Assim, podemos escrever:

V1/ sen 60° = A / sen φ

Fazendo a substituição pelos valores numéricos, temos:

11,136 / 0,866 = 10 / sen φ

Efetuando o cálculo, temos:

sen φ = 0,777   ⇒   φ = 51°

Que é o mesmo valor encontrado anteriormente. Devemos trocar o sinal do ângulo pois ele está abaixo do eixo horizontal. Então, φ = -51°.

Item b

Observando a figura do item b do exemplo 1, vemos que o lado oposto ao ângulo φ continua sendo o fasor A. Este fasor faz um ângulo de 120° com a horizontal. E este ângulo é oposto a V1.Lembrando que no item b o módulo de V1 é igual a 19,08. Desta forma, podemos escrever:

V1/ sen 120° = A / sen φ

Fazendo a substituição pelos valores numéricos, temos:

19,08 / 0,866 = 10 / sen φ

Efetuando o cálculo, temos:

sen φ = 0,454   ⇒   φ = 27°
Mais uma vez houve concordância com o valor encontrado anteriormente. Portanto fica a critério de cada aluno encontrar o ânguloentre fasores pelo método que julgar mais oportuno.

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4. Notação Complexa do Fasor

Nos itens anteriores foi apresentada uma ideia de como podemos representar fasores através de funções trigonométricas. Mas estas funções trazem um fator complicador pois há a necessidade de frequentemente termos que transformar uma função em outra.Uma maneira mais inteligente é representarmos fasores através de números complexos,já que operações com estes são bem mais simples.

Números complexos podem ser representados na forma retangular e na forma polar.

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4.1. Forma Retangular

Como sabemos um número complexo é representado na forma retangular obedecendoa equação:

z = x ± j y

Aqui representamos o imaginário pela letra j, diferentemente do usado em matemática, na qual é representado pela letra i. Porém, como em eletricidaderepresentamos a corrente instantânea pela letra i, na literatura técnicaoptou-se pela letra j para evitar confusão de interpretação.

fig51-7J.png

Na figura ao lado vemos a representação do número complexo Z em um plano cartesiano.Na vertical (ordenada) fica a parte imaginária, enquanto na horizontal (abscissa) fica a partereal.

Pelo gráfico vemos que a parte real está representada pelo número 8, enquanto que a parte imaginária pelo número 6.



Já é possível perceber que é muito fácil passar da forma retangular para a forma polar.Vejamos como fica.

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4.2. Forma Polar

Vamos aproveitar o gráfico anterior e passarmos o número complexo na forma retangular para a forma polar. Repare que para calcularmos o módulobasta usar o teorema de Pitágoras, ou seja:

|Z| = √ (62 + 82) = 10

Calculado o módulo, falta-nos calcular o ângulo. Para isto, calculamoso arcotangente do quociente entre a parte imaginária e a parte real de Z.Logo:

φ = arctan ( 6/ 8 ) = 36,87°

Então o número complexo Z fica perfeitamente definido escrito na forma polarcomo descrito abaixo:

Z = 10 ∠ 36,87°

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4.3. Soma de Fasores com Notação Complexa

No ítem 3 aprendemos a somar ou subtrair fasores usando a lei do cosseno. Porém, uma forma maisprática e rápida, é usar a notação complexa. Se os fasores estiverem na notação polar, podemos transformá-los em notação retangular e somá-los usando o mesmo princípio da soma de vetores. Para ilustrarmos este método vamos analisaro exemplo 51.4.3.

Exemplo 51.4.3

Sejam os fasores de tensão (em volts) dados por:

A = 25∠30°,  B = 20∠75°   e   C = 30∠175°

Encontre o fasores resultantes   Vsoma = A + B + C   e   Vsubt = C - A.

  Solução

Como os três fasores estão na forma polar vamos passá-los para a forma retangular. Assim:

A = 21,65 + j12,5   volts

B = 5,18 + j19,32   volts

C = -29,89 + j2,61   volts

Agora basta somar algebricamente parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária.Dessa forma, obtemos:

Vsoma = A + B + C = -3,06 + j34,43   volts

E podemos transformar para a forma polar, ou:

Vsoma = A + B + C = 34,57∠95,08°   volts

Para calcularmos Vsubt = C - A usamos o mesmo método. Então, encontramos:

Vsubt = C - A = -51,54 - j9,89   volts
Transformando para a forma polar, obtemos:

Vsubt = C - A = 52,48∠-169,14°   volts

Perceba a facilidade de encontrarmos soma e subtração de fasores com este método.

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5. Relações Fasoriais em R, L e C

Vamos estabelecer as relações algébricas que governam as relações fasoriais de tensãoe corrente nos dispositivos passivos que temos estudado até este momento. Perceba que ao fazer as transformações das funções trigonométricas para a forma fasorial, estamos na verdadefazendo uma transformaçção no domínio do tempo para o domínio da frequência. Vamos estudar como a variação da frequência muda o comportamento desses dispositivos.

5.1. Comportamento do   RESISTOR

Sabemos que um resistor obedece a lei de Ohm, e esta lei diz que existeuma relação direta entre a corrente elétrica que atravessa o resistor e a tensãoelétrica que o mesmo desenvolve entre seus terminais. Assim:

v(t) = R. i(t)
e se pelo resistor circula uma corrente dada pela função:
i(t) = Imax sen(ωt + 0°)

Então o resistor não modificará nenhum parâmetro da corrente elétrica, resultando em uma tensão com os mesmos parâmetros da corrente elétrica e comuma amplitude que será o produto do valor do resistor pelo valor da correnteelétrica, ou seja:

vmax(t) = R. Imax sen(ωt + 0°)

Na forma polar (ou fasorial) podemos escrever:

Vmax ∠ 0° = R. Imax ∠ 0°

Em outras palavras: a relação tensão-corrente na forma fasorialpara um resistor obedece a mesma relação entre a tensão e a corrente no domínio do tempo.Isto significa que um resistor não muda a fase entre corrente e tensão.

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5.2. Comportamento do   CAPACITOR

Para começarmos a estudar o comportamento do capacitor frente a uma onda senoidaldevemos antes introduzir o conceito de reatância. Reatância capacitiva é a dificuldade ouresistência que o capacitor oferece à passagem de uma corrente elétrica alternada.Em outras palavras, quando a corrente elétrica possui frequência diferente de zero o capacitor age como uma resistência dependente da frequência. A relação quedefine essa "dependência" é dada por:

Xc = 1 / (ω C) = 1 / (2πf C)

Onde as variáveis são:

É fácil perceber, pela equação, que quanto maior a frequência da onda, menor é a reatância do capacitor. E vice-versa.Agora podemos entender por que em corrente contínua o capacitor apresenta uma impedânciainfinita, pois sabemos que neste caso, f = 0.

Agora vamos analisar matematicamente como essa reatância comporta-se quando submetida a uma tensãoque possua frequência diferente de zero. A equação que relaciona a corrente com a tensão aplicada em um capacitor, é dada por:

eq51-1J.png

Vamos supor que o capacitor seja submetido a uma tensão descrita conforme abaixo:

v(t) = Vmax sen(ωt + 0°)

Vamos calcular a corrente elétrica que circulará pelo capacitor. Para tal, devemos calcular a derivada da tensão aplicada ao capacitor conforme nos diz a equação de i(t) (acima). Com isso, chegamos a:

i(t) = ω C Vmax cos(ωt + 0°)

Repare que estamos frente a uma função cosseno. Para compararmos a faseentre i(t) e v(t) devemos ter as duas expressões com a mesma função trigonométrica. Assim,vamos transformar i(t) para a função seno. Então, obtemos:

i(t) = ω C Vmax sen(ωt + 90°)

Perceba que agora podemos afirmar que a corrente elétrica no capacitor está 90°adiantada em relação à tensão aplicada sobre o mesmo. Além disso, note que ω Cnada mais é do que o inverso da reatância capacitiva. Então:

Imax = ω C Vmax = Vmax / Xc

Veja que a equação acima é exatamente a lei de Ohm para corrente alternada.Desta forma conseguimos determinar a equação da corrente elétrica que circula pelo capacitor, ou:

i(t) = Imax sen(ωt + 90°)

Podemos escrever as duas equações na forma polar, ou:

V = Vmax ∠ 0°     e     I = Imax ∠ 90°
recado51-1.png


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5.3. Comportamento do   INDUTOR

O indutor, como o capacitor, possui uma reatância indutiva e seu valor também depende da frequência. A relação que define a reatância indutiva é dada por:

XL = ω L = 2πf L

Onde as variáveis são:

Pela equação percebemos que quanto maior a frequência da onda, maior é a reatância indutiva.E vice-versa. Agora ficou fácil entender por que o indutor comporta-se como umcurto-circuito para corrente contínua. Ora, se f = 0, então XL = 0 .

Agora vamos analisar matematicamente como essa reatância comporta-se quando submetida a uma corrente elétrica com uma frequência diferente de zero. A equação que relaciona a tensão com a corrente que circula pelo indutor, é dada por:

eq51-2J.png

Vamos supor que o indutor seja submetido a uma corrente descrita conforme abaixo:

i(t) = Imax sen(ωt + 0°)

Agora podemos calcular a tensão elétrica que surgirá nos terminais do indutor. Para tal, devemos calcular a derivada da corrente elétrica aplicada ao indutor conforme nos diz a equação de v(t) (acima). Com isso, chegamos a:

v(t) = ω L Imax cos(ωt + 0°)

Repare que aqui também estamos frente a uma função cosseno. Para compararmos a faseentre i(t) e v(t) devemos ter as duas expressões com a mesma função trigonométrica. Assim,vamos transformar v(t) para a função seno. Então, obtemos:

v(t) = ω L Imax sen(ωt - 90°)

Observe que agora podemos afirmar que a corrente elétrica no indutor está 90°atrasada com relação à tensão elétrica entre seus terminais. Além disso, note que ω Lnada mais é do que a reatância indutiva. Então, temos que:

Vmax = ω L Imax = XL Imax

Veja que a equação acima é exatamente a lei de Ohm para corrente alternada.Desta forma, conseguimos chegar a equação da tensão elétrica sobre o indutor, ou:

v(t) = Vmax sen(ωt - 90°)

Podemos escrever as duas equações na forma polar, ou:

V = Vmax ∠ - 90°     e     I = Imax ∠ 0°
recado51-2.png


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6. Impedância

Devemos estar atento para o fato que o resistor é o único elemento passivo que comporta-se da mesma maneira, tanto para corrente contínua como para corrente alternada. Em outras palavras, a variação da frequência da onda não altera seu comportamento. Já não podemos dizer o mesmo para o capacitore o indutor, pois para estes componentes a reatância depende não só do valor dacapacitância e indutância, bem como da frequência em que trabalham.

Quando combinamos estes três elementos passivos, seja em série, paralelo, ou associação mista, emum circuito, definimos impedância como a razão entre a tensão fasorial e a corrente fasorial, e simbolizamos a mesma pela letra maiúscula Z. Logo, a impedância é uma grandeza complexae é medida em ohms. Ela não é um fasor, ou seja, não podemos transformá-la para o domínio do tempo.Assim, todas as manipulações algébricas que as envolvam devem obedecer aquelas aplicáveis aos números complexos.

6.1. Impedância com R e C

Vamos analisar um circuito básico formado por um resistor e um capacitor em série. Da figuravemos que    v = 156,2 sen(500t),    R= 120 Ω    e    C = 20 µF.

circ51-1J.png

Veja na figura ao lado o circuito que analisaremos. Da equação de v já obtemos a informação de Vmax = 156,2 volts. Por outro lado,o termo que acompanha t é a frequência angular, ou ω = 500 rad/s.Como não temos nada escrito após ω t, isto indica que a fase de vé θ = 0°. Assim, temos todas as informações necessárias para começar os cálculos.

Inicialmente vamos calcular a reatância capacitiva do capacitor. Como C = 20. 10-6 F, temos que:

XC = 1/ (ω C) = 1/ 500. 20. 10-6 = 100 Ω

Agora podemos escrever a impedância do circuito na forma complexa, ou:

Z = R + 1/ j (ω C) = 120 - j 100 Ω

Lembre-se dos números complexos, onde 1/j = -j. Podemos escrever esta impedância na forma polar a partir da forma retangular (acima):

|Z| = √ (R2 + XC2) = √ (1202 + 1002) = 156,2 Ω
e
φ = arctan ( XC/ R) = arctan (-100/ 120) = - 39,8°

Logo a forma polar, para a impedância, pode ser escrita como:

Z = |Z| ∠ φ = 156,2 ∠-39,8°

De posse dessas informações podemos calcular a corrente i e a tensãoelétrica em cada componente. Usando a notação polar, que simplifica bastante os cálculos, temos:

i = 156,2 ∠ 0° / 156,2 ∠ -39,8° = 1 ∠+39,8° ampère

Perceba que este ângulo de + 39,8° significa que a correnteelétrica no circuito está adiantada de 39,8° em relação àtensão elétrica aplicada ao mesmo.

Se desejarmos expressar o valor da corrente elétrica na forma trigonométrica, devemos escrever:

i = 1 sen (500 t + 39,8°) ampère

Com o valor de i, podemos calcular a tensão sobre o resistor e o capacitor, ou seja:

VR = R. i = 120. 1∠ 39,8° = 120 ∠+39,8° volts

VC = XC. i = 100. ∠-90° 1∠+39,8° = 100 ∠-50,2° volts
fig51-8J.png

Na figura acima apresentamos o gráfico fasorial do circuito. Como referênciausamos a tensão V. Então podemos perceber claramente que a corrente iestá adiantada de 39,8° em relação a V. Como o resistor não defasaa corrente, a tensão sobre o resistor (VR) está em fase com i. Como sabemos, a tensão no capacitor (VC) está atrasada de 90° em relação a corrente elétrica i.Isso pode ser verificado facilmente no gráfico. Analiticamente temos θ = 39,8° - (- 50,2°) = 90°.

atencao.png

Muitos alunos tentam "provar" que os resultados encontrados estão corretos somandonumericamente os valores de VR e VC e ficam surpresos quandoencontram V = VR + VC = 120 + 100 = 220 volts que é um valor completamente diferente do valor fornecido. Isto acontece por que devemos somar as tensões fasorialmente e não numericamente. Então, para encontrarmos o valor correto devemos calcular desta maneira:

V = √ (VR2 + VC2) = √ (1202 + 1002) = 156,2 volts

Portanto, fique atento aos detalhes e jamais "pense" em somar numericamenteduas tensões ou correntes que estão defasadas de 90° entre si. Note também que só foi possível usar a equação acima pelo fato das duas tensões estarem defasadas de 90° entre si e isto permite o uso do teorema de Pitágoras.

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6.2. Impedância com R e L

Vamos estudar a impedância apresentada por um circuito R-L a partirde um circuito básico formado por um resistor e um indutor em série.

circ54-1J.png

Veja na figura ao lado o circuito que analisaremos. Do circuito não temos informação a respeito da frequência angular. Vamos admitir a frequência angular ω = 1125 rad/s.Sabemos que a fase de vé θ = 0°. Assim, temos todas as informações necessárias para começar os cálculos.

Por outro lado, sabemos que XL = ω. L. Então vamos calcular o valor da reatância indutiva, sabendo que L = 53,32 mH.

XL = ω L = 1125. 53,32. 10-3 = 60 Ω

Desta forma, podemos escrever a impedância do circuito na sua forma complexa. Logo:

Z = R + j ω L = 10 + j60 Ω

Para escrevermos esta impedância na forma polar, necessitamos conhecer o ânguloe o módulo (ou valor absoluto) da impedância. Vamos, primeiramente, calcular o ângulo.

φ = arctan ( XL/ R) = arctan (60/ 10) = +80,54°

Para o valor do módulo da impedância temos:

|Z| = √ (R2 + XL2) = √ (102 + 602) = 60,83 Ω

Agora estamos aptos a escrever a impedância na sua forma polar.

Z = |Z| ∠ φ = 60,83 ∠+80,54°

Com o conhecimento do valor da impedância e da tensão que alimenta o circuitopodemos calcular a corrente elétrica i.

I = v / Z = 220 ∠0° / 60,83 ∠+80,54° = 3,62 ∠-80,54°

Podemos escrever I na sua forma trigonométrica, ou seja:

I = 3,62 sen (1125t - 80,54°)

Para completar a análise vamos calcular a tensão elétrica sobre o resistor e sobre oindutor. Para o resistor temos:

VR = R. I = 10. 3,62 ∠-80,54° = 36,20 ∠-80,54° V

E para o indutor temos:

VL = XL. I = 60 ∠+90° 3,62 ∠-80,54° = 217,20 ∠+9,46°

Como verificação vamos calcular o valor de V a partir dos valores de VR e VL.

V = √ (VR2 + VL2) = √ (36,202 + 217,202) = 200,20 volts

Obtivemos um erro de 0,2 volt em virtude de arredondamentos.


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7. Admitância

Da mesma forma como fizemos para corrente contínua (DC) onde definimos a condutância como o inverso da resistência, para a corrente alternada (AC),vamos definir a ADMITÂNCIA como a razão entre a corrente fasorial e a tensão fasorial sobre um elemento do circuito. Assim como a impedância é uma grandeza complexa, a admitância também é uma grandeza complexa.

eq51-3J.png

A parte real da admitância denominamos como condutância, G e a parte imaginária como susceptância, B. Dessa forma podemos escrever:

eq51-4J.png
atencao.png

Preste muita atenção para o fato que a equação acima não está dizendo que a parte real da admitância é igual ao inverso da parte real da impedância. Nem mesmo que a parte imaginária da admitância seja igual aoinverso da parte imaginária da impedância.

A unidade de medida da admitância, condutância e susceptância é o SIEMENS.


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