Filtros Elétricos Teoria


Introdução

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Frequência (Hz) Reatância (Ω) Tensão de Saída (V) Valor em dB Fase em Graus
10 9.947,19 10,0 0 - 0,58
50 1989,44 9,99 - 0,01 - 2,88
100 994,72 9,95 - 0,04 - 5,74
500 198,94 8,93 - 0,98 - 26,69
1000 99,47 7,07 - 3,00 - 45,15
2000 49,74 4,45 - 7,03 - 63,56
5000 19,89 1,95 - 14,20 - 78,75
10.000 9,95 0,99 - 20 - 84,32
20.000 4,97 0,50 - 26 - 87,15
50.000 1,99 0,20 - 34 - 88,86
100.000 0,99 0,10 - 40 - 89,43

    Perceba que para a frequência de 1.000 Hz houve uma queda de - 3 dB na tensão de saída Vo em relação a V. Quando isso acontece, essa frequência é considerada a frequência de corte do filtro. Analiticamente, podemos encontrá-la fazendo:

    Xc = R

    Manipulando algebricamente essa igualdade, podemos encontrar a equação que permite calcular a frequência de corte do filtro em função dos valores de C e R. Veja abaixo.

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    eq. 59-06

    Baseado na tabela acima podemos plotar o gráfico ganho (em dB) versus frequência (em Hz).

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    Da tabela acima também podemos plotar o gráfico fase versus frequência (em Hz). Veja na figura abaixo como ficou.

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    Também podemos encontrar uma equação que relaciona a tensão de saída e a tensão de entrada em função da frequência considerada e a frequência de corte do filtro. Para isso, vamos considerar o seguinte desenvolvimento:

filtro_eq59-1J.png
filtro_eq59-1K.png
filtro_eq59-1N.png

    A partir dessa equação podemos expressar o módulo e a fase do ganho do circuito passa baixa em função da frequência. Assim, em termos de módulo e fase é possível escrever:

filtro_eq59-1Q.png


       Adendo Prático

    Este circuito é largamente utilizado em receptores de FM, na etapa de áudio. Sua finalidade é eliminar a pré-enfase que ocorre nos equipamentos de transmissão de FM. Essa pré-enfase, mais conhecida como pré-enfase em 75 µs, tem o objetivo de dar um ganho adicional de 6 dB/oitava. Esse ganho começa na frequência de 2.122 Hz e vai até a frequência de 15 KHz, faixa de áudio limite para a banda FM. Logo, no receptor, devemos eliminar essa pré-enfase inserindo um filtro passa-baixa antes do pré-amplificador de áudio. Praticamente 100% dos receptores de FM no mercado utilizam esse tipo de filtro passa-baixa. Nos receptores de AM também é utilizado esse tipo de filtro na saída do estágio chamado detector de áudio, a fim de eliminar a rádio frequência e amplificarmos só o sinal de áudio. Assim, existem inúmeros equipamentos eletro-eletrônicos que usam filtros passa-baixa.


    2.2    Filtro Passa Baixa R - L

    No item anterior vimos um filtro passa-baixa utilizando uma resistência e um capacitor. Agora vamos analisar um circuito que utiliza uma resistência e um indutor em série para formar um circuito passa-baixa. Veja na figura abaixo o circuito que analisaremos, onde o valor do resistor é de 100 ohms e o do indutor é de 16 mH. Repare que em relação ao circuito anterior houve uma inversão na posição dos componentes.

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    Neste circuito estamos interessados em analisar a tensão de saída Vo que se desenvolve sobre a resistência. Vamos relembrar que a reatância indutiva é dada por  XL = ω L. Logo, ao aumentarmos a frequência da fonte de tensão a reatância indutiva crescerá na mesma proporção.

    Para encontrarmos o valor de Vo vamos utilizar um divisor de tensão, como fizemos no item anterior. Temos que   |Z| = √(R2 + XL2). Então, a equação que nos permite calcular a tensão de saída Vo, é dada por:

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    eq. 59-07

    A diferença de fase entre a tensão de saída e a da fonte de tensão, representada pela letra grega θ na equação acima, é expressa pela equação abaixo.

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    eq. 59-08

    Fazendo o cálculo para f = 10 Hz, encontramos   XL = 1 Ω   e   |Z| = √ (12 + 1002) ≈ 100 Ω. Utilizando a equação com os valores calculados acima, encontramos para Vo o valor de:

    Vo = V  (R / |Z|) = 10  (100 / 100) = 10 V

    Perceba que para esta frequência de 10 Hz, a reatância do indutor é tão pequena que o circuito comporta-se como se o indutor não existisse. Para calcular a fase basta empregar a equação mostrada acima e teremos:

    θ = tg-1 (XL / R) = 0,58°

    Seguindo os mesmos passos realizados para o filtro anterior e recalculando os valores de |Z| e Vo, para frequências maiores que 10 Hz, podemos elaborar uma tabela conforme mostramos abaixo.


Frequência (Hz) Reatância (Ω) Tensão de Saída (V) Valor em dB Fase em Graus
10 1,00 10 0 0,58
50 5,03 9,98 - 0,01 2,88
100 10,05 9,95 - 0,04 5,74
500 50,26 8,93 - 0,98 26,69
1000 100,53 7,07 - 3,00 45,15
2000 201,06 4,45 - 7,03 63,56
5000 502,65 1,95 - 14,20 78,75
10.000 1005,31 0,99 - 20 84,32
20.000 2010,62 0,50 - 26 87,15
50.000 5026,55 0,20 - 34 88,86
100.000 10053,09 0,10 - 40 89,43

    Perceba que comparando as duas tabelas, a do circuito R-C e a do circuito R-L, a única diferença que temos é na fase do sinal de saída. Enquanto o circuito R-C apresenta um atraso na tensão de saída em relação ao sinal de entrada, o circuito R-L adianta a tensão de saída em relação ao sinal de entrada.

    Como no caso do filtro passa-baixa R-C, na frequência de 1.000 Hz, aqui também houve uma queda de - 3 dB na tensão de saída Vo, em relação a V. Essa é a frequência de corte do filtro. Analiticamente, podemos encontrá-la fazendo:

    XL = R

    Manipulando algebricamente essa igualdade podemos encontrar a equação que permite calcular a frequência de corte do filtro em função dos valores de L e R. Veja abaixo.

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    eq. 59-09

    Baseado na tabela acima podemos plotar o gráfico ganho (em dB) versus frequência (em Hz). Repare que é o mesmo gráfico do filro passa-baixa R-C.

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    2.3 Filtro Passa Baixa com Atenuação Limitada

    Em muitas aplicações práticas não estamos interessados que após a frequência de corte o sinal na saída seja atenuado, ou até mesmo, eliminado. Nosso objetivo é que apenas uma pequena faixa de frequências seja atenuada. Temos então, uma segunda frequência onde, a partir dessa frequência, o sinal na saída tenha uma amplitude aproximadamente constante.

    Na figura abaixo podemos ver um circuito que preenche esse requisito. Vamos analisá-lo.

    Em primeiro lugar devemos observar que o sinal de saída é retirado sobre a impedância formada pela resistência R2 e o capacitor C, ou seja, R2 e o capacitor C agem como carga. Logo, a impedância é dada por ZL = R2 - j XC.

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    Neste circuito é fácil perceber que para a frequência de 0 Hz o capacitor representa um circuito aberto. Logo, concluímos que Vo = V. Quando aumentamos a frequência para valores bem altos (digamos 100 kHz), o capacitor comporta-se como um curto-circuito. Então, podemos encontrar a tensão de saída Vo com um simples divisor de tensão, ou:

    Vo = V R2 / (R1 + R2)

    Assim, já conhecemos os valores extremos de Vo. Para frequências intermediárias o valor de Vo é dado por:

    Vo = V  (R2 - j XC ) / (R1 + R2 - j XC )

    A partir desta equação podemos determinar o ganho do circuito, ou seja, a relação entre Vo e V. Então:

    Av = Vo / V = (R2 - j XC ) / (R1 + R2 - j XC )

    Lembrando que XC = 1 / (2 π f C) e desenvolvendo a relação acima, chegamos a:

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    eq. 59-10

    Na equação acima, os termos que aparecem são:

  • Av - Ganho de tensão do filtro
  • Vo - tensão de saída do filtro
  • V - tensão de entrada do filtro
  • fc - primeira frequência de corte do filtro
  • f1 - segunda frequência de corte do filtro
  • f - frequência que se quer analisar

    As frequências fc e f1 podem ser determinadas através das equações abaixo.

eqfiltro58-10J.jpg
    eq. 59-11
eqfiltro58-9J.jpg
    eq. 59-12

    Na figura abaixo podemos ver o gráfico da resposta em frequência do circuito. Repare que, conforme as equações acima, fc depende dos valores de C, R1 e R2, enquanto que f1 depende dos valores de C e R2. Desta forma, depreendemos que sempre fc < f1, como pode ser constatado no gráfico abaixo.

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    Relembrando que 6 dB/oitava é equivalente a 20 dB/década.

    3. Filtro Passa Alta

    Filtro passa alta são aqueles que permitem a passagem somente de sinais de altas frequências, atenuando ou eliminando frequências inferiores à frequência de corte do filtro.

    Podemos elaborar diversos tipos de filtros passa alta. Começaremos analisando o filtro formado com um capacitor e uma resistência.

    3.1    Filtro Passa Alta R - C

    Seja o circuito mostrado na figura abaixo, formado por um capacitor em série com um resistor. Estamos interessados em analisar a tensão Vo que se desenvolve sobre o resistor quando variarmos a frequência de operação da fonte de tensão V, cujo valor estabelecemos em 10 volts.

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    Note que o capacitor em série com a resistência forma uma impedância cujo valor absoluto é dado por |Z| = √ (R2 + Xc2). Como queremos calcular a tensão sobre o resistor, podemos aplicar um divisor de tensão e encontramos a equação abaixo.

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    eq. 59-13

    A diferença de fase entre a tensão de saída e a da fonte de tensão, representada pela letra grega θ na equação acima, é expressa pela equação abaixo.

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    eq. 59-14

    Vamos começar supondo que a frequência da fonte de tensão seja de 10 Hz. Então, a impedância |Z| apresenta o valor de   |Z| = 9.948,17 Ω.   Aplicando a eq. 59-13 e lembrando que   R = 100 Ω   encontramos para Vo o valor de:

    Vo = V  (R / |Z|) = 10  (100 / 9.948,17) ≈ 0,1 V

    Seguindo o mesmo processo de cálculo para as demais frequências apresentamos a tabela abaixo.


Frequência (Hz) Reatância (Ω) Tensão de Saída (V) Valor em dB Fase em Graus
10 9.947,18 0,1 - 40 89,43
50 1.989,44 0,50 - 26 88,86
100 994,72 1,00 - 20 84,26
500 198,94 4,49 - 7,0 63,31
1000 99,47 7,07 - 3,00 44,84
2000 49,74 8,95 - 0,96 26,45
5000 19,89 9,81 - 0,17 11,25
10.000 9,95 9,95 - 0,04 5,68
20.000 4,97 9,99 - 0,01 2,85
50.000 1,99 10,0 0 1,14
100.000 0,99 10,0 0 0,56

    3.2    Filtro Passa Alta R - L

    Seja o circuito mostrado na figura abaixo, formado por um indutor em série com um resistor. Estamos interessados em analisar a tensão Vo que se desenvolve sobre o indutor quando variarmos a frequência de operação da fonte de tensão V, de 10 volts.

circ58-5J.jpg

    Note que o indutor em série com a resistência forma uma impedância cujo valor absoluto é dado por |Z| = √ (R2 + XL2). Como queremos calcular a tensão sobre o indutor, podemos aplicar um divisor de tensão e encontramos a equação abaixo.

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    eq. 59-15

    Da mesma forma como fizemos no item anterior, vamos supor que a frequência da fonte de tensão seja de 10 Hz. Então, a impedância |Z| apresenta o valor de   |Z| ≈ 100 Ω.   Aplicando a equação acima e lembrando que   XL = 2 π f L ≈ 1 Ω   encontramos para Vo o valor de:

    Vo = V  (XL / |Z|) = 10  (1 / 100) = 0,1 V

    Seguindo o mesmo processo de cálculo para as demais frequências apresentamos a tabela abaixo.


Frequência (Hz) Reatância (Ω) Tensão de Saída (V) Valor em dB Fase em Graus
10 1,00 0,1 - 40 89,43
50 5,03 0,50 - 26 87,12
100 10,05 1,00 - 20 84,26
500 50,26 4,49 - 7,0 63,32
1000 100,53 7,07 - 3,00 44,85
2000 201,06 8,95 - 0,96 26,44
5000 502,65 9,81 - 0,17 11,25
10.000 1005,31 9,95 - 0,04 5,68
20.000 2010,62 9,99 - 0,01 2,84
50.000 5026,55 10,0 0 1,14
100.000 10053,09 10,0 0 0,57

    3.3    Filtro Passa Alta com Limitação

    Este tipo de filtro pode ser utilizado quando se deseja uma limitação na atenuação em baixas frequência. Na figura abaixo vemos uma configuração de um circuito que desempenha essa função.

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    Neste circuito quando temos f = 0 Hz, o capacitor comporta-se como um circuito aberto e portanto a tensão Vo depende só dos valores de R1 e R2. Então o ganho de tensão pode ser expresso como:

    Av = Vo / V = R2 / (R1 + R2)

    Para altas frequências, o capacitor comporta-se como um curto-circuito e Vo = V. Portanto, o ganho do circuito para as frequências intermediárias estará variando entre R2 / (R1 + R2) e 1, como podemos ver na figura abaixo:

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    4    Filtro Passa-Faixa
    5    Filtro Rejeita Faixa