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Resumo    da    Teoria Problemas Resolvidos Problemas + Difíceis

1.   Teoria Básica

Quando estudamos os circuitos monofásicos, vimos a relação que existia entre tensão e corrente para circuitos que continham elementos reativos e puramente resistivos. Agora vamos tratar dos circuitos polifásicos. Porém, neste site vamos restringir nossos estudos aos circuitos trifásicos. Além do mais, no momento vamos nos concentrar nos circuitos trifásicos chamados de EQUILIBRADOS, ou seja, quando as tensões de fase em relação ao neutro possuem o mesmo módulo, só variando o ângulo de fase.

2.   Fasor Trifásico

Diferentemente do circuito monofásico, que possuía somente um enrolamento encarregado de gerar energia elétrica, no caso do trifásico, temos três enrolamentos independentes que estão defasados entre si, mecanicamente, de 120°. Como consequência, a cada giro do rotor do gerador, haverá a produção de três tensões alternadas chamadas fases, e que, obviamente, estarão defasadas eletricamente de 120° entre si. Essas tensões, como no caso monofásico, obedecem a função senoidal ou cossenoidal.

As três fases produzidas são identificadas por letras do alfabeto. Atualmente, costuma-se designá-las pelas letras A, B , C e em literaturas mais antigas eram usadas as letras R, S , T.  Por padrão, o sentido de giro das fases é sempre no sentido anti-horário. Desta forma existem duas sequências de fases possíveis. Uma é a sequência DIRETA, designada como sequência ABC. Também pode ser designada como BCA ou CAB. Apenas deslocamos a letra inicial para o final. Depois repete-se a sequência. A outra é a sequência INVERSA, conhecida como sequência ACB. Também pode ser CBA ou BAC. Para conseguirmos a sequência INVERSA, só trocamos a fase B pela fase C e vice-versa. O sentido de giro continua sendo anti-horário.


2.1.   Sequência DIRETA ou POSITIVA

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Na figura ao lado vemos a representação gráfica das três fases. Repare que na junção das fases temos o ponto N chamado de NEUTRO. Como padrão, usa-se a fase A na horizontal, significando que tem ângulo ZERO graus. Portanto, as outras fases estarão defasadas de 120° em relação a fase A. Repare na seta à direita, indicando o sentido anti-horário de giro das fases. Devemos tomar muito cuidado na interpretação deste "giro de fases". Muitos alunos seguem a seta e acabam interpretando, erroneamente, como sequência ACB.

Esta NÃO É a forma correta de interpretar. A forma CORRETA é tomar como referência a posição da fase A. Assim, devemos perguntar: Se girarmos 120° anti-horário, qual fase irá para a posição da fase A?

É óbvio que será a fase B. Giramos mais 120° e agora quem está no lugar da fase B é a fase C. E aí obtemos a sequência ABC. E esta sequência é conhecida como sequência DIRETA ou POSITIVA.

Na figura abaixo aparece as três fases onde usamos a função seno para representá-las. Repare que o máximo da tensão (Vmax) ocorre em 4 volts. Da equação podemos ler o valor de ω = 2. π f (valor numérico que vem antes de t) e é igual a 314. Logo a frequência é de 50 Hz. Então o período (T= 1/f) é de 20 ms. Trigonometricamente podemos escrever as fases como:

VA = 4. sen (314 t + 0°)

VB = 4. sen (314 t + 120°)

VC = 4. sen (314 t + 240°)

trif81-1J.png

2.2.   Sequência INVERSA ou NEGATIVA

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Na figura ao lado vemos a representação gráfica da sequência inversa. Repare que o sentido de giro continua o mesmo. Giro anti-horário. O que houve foi a troca da fase BN pela fase CN. Então, se girarmos de 120°, quem virá para a posição da fase A será a fase C. Mais um giro de 120° e teremos a fase B no lugar da fase C. E repete-se o ciclo. E aí obtemos a sequência ACB. Isto caracteriza a sequência INVERSA.

Devemos salientar que em alguns problemas poderá estar explícito que a fase AN não tem um ângulo igual a zero grau.

Neste caso devemos posicioná-la no ângulo fornecido pelo problema. Obviamente, as outras duas fases também sofrerão um deslocamento equivalente e deverão estar defasadas de 120° em relação a fase AN.

3.   Nomenclatura e Relações de Fase

Sempre haverá situações em que devemos mudar a referência para tensão de linha ou de fase. Então, vamos ver como fazer estas transformações.

3.1.   Nomenclatura

cabe ressaltar que sempre que denominarmos uma tensão, o número ou letra do primeiro índice, deve ser aquele(a) que tem o maior valor de tensão. O segundo índice, por sua vez, terá o menor valor. No caso VAB, está informando que a maior tensão é a do ponto A e também pode ser escrito como VAB = VA - VB. Além disso, a seta ou flecha do fasor, aponta para esta letra (A).

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Na figura acima vemos exemplos de alguns fasores e sua correta nomenclatura.


3.2.   Relações de Fase

  3.2.1.   Para Tensões

Na figura abaixo, apresentamos uma outra maneira de representarmos as tensões de linha em um gráfico, a partir das tensões de fase. Este sistema é totalmente equivalente ao visto anteriormente.

    3.2.1.1.   Sequência Direta ou Positiva

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Note que para conseguirmos a tensão VAB, realizamos a soma fasorial de VAN com - VBN. O mais importante aqui é ressaltarmos que a tensão de linha resultante dessa soma fica adiantada de 30° em relação à tensão de fase correspondente, ou seja, VAN, e além disso sua magnitude é multiplicada por √3. Com as outras tensões de linha acontece a mesma coisa.


Outra coisa: se estamos passando de tensão de linha para tensão de fase, então devemos ATRASAR a tensão de fase em 30°, ou seja, VF ∠φ = VL ∠θ - 30°, onde temos φ = θ - 30° representando o ângulo da tensão de fase e θ, o ângulo da tensão de linha. Além disso, devemos dividir o módulo da tensão de linha por √3 para obtermos a magnitude da tensão de fase. A seguir, vamos representar a transformação das tensões de fase para tensões de linha, referindo-nos ao gráfico acima o qual mostra a sequência direta ou positiva.

VAN = VF ∠0°   ⇒   VAB = √3 VF ∠30°

VBN = VF ∠-120°   ⇒   VBC = √3 VF ∠-90°

VCN = VF ∠120°   ⇒   VCA = √3 VF ∠150°

Evidentemente que poderíamos ter escrito VBN = VF ∠240° e VBC = √3 VF ∠270°. Porém, é padrão optar pelo menor valor numérico do ângulo (em módulo).

Agora vamos mostrar a transformação das tensões de linha para as tensões de fase, supondo VAB = VL∠0° (o gráfico anterior deve ser rotacionado de 30° no sentido horário).

VAB = VL ∠0°   ⇒   VAN = ( VL / √3 ) ∠-30°

VBC = VL ∠-120°  ⇒  VBN = ( VL / √3 ) ∠-150°

VCA = VL ∠120°   ⇒   VCN = ( VL / √3 ) ∠90°

    3.2.1.2.   Sequência Inversa ou Negativa

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Na figura ao lado vemos o diagrama de tensões, mas com a sequência inversa ou negativa. Neste caso, houve a troca das tensões VBN por VCN e vice-versa.

Como consequência, os ângulos das tensões de linha mudaram de forma acentuada.

Na sequência inversa, é fácil perceber que as tensões de linha, agora estão atrasadas de 30° em relação as tensões de fase correspondentes.

Com referência a este diagrama, as tensões são:

VAN = VF ∠0°   ⇒   VAB = √3 VF ∠-30°

VBN = VF ∠120°   ⇒   VBC = √3 VF ∠90°

VCN = VF ∠-120°   ⇒   VCA = √3 VF ∠-150°

Repare que na sequência inversa houve troca de sinal no ângulo de todas as tensões em relação a sequência direta, exceto em VAN, pois esta é a tensão de referência nos dois casos.

Agora vamos mostrar a transformação das tensões de linha para as tensões de fase, supondo VAB = VL∠0° (o gráfico anterior deve ser rotacionado de 30° no sentido anti-horário).

VAB = VL ∠0°   ⇒   VAN = (VF / √3) ∠+30°

VBC = VL ∠120°   ⇒   VBN = (VL / √3) ∠150°

VCA = VL ∠-120°   ⇒   VCN = (VL / √3) ∠-90°

  3.2.2.   Para Correntes

Quando temos um circuito equilibrado conectado em Triângulo ou Delta, frequentemente devemos transformar correntes de fase em correntes de linha e vice-versa. Para tanto, devemos prestar atenção se estamos trabalhando com uma sequência direta ou inversa.

Para o caso de sequência DIRETA, ao transformarmos corrente de linha para corrente de fase, a corrente de linha deve estar ATRASADA de 30° em relação à corrente de fase.

Para o caso de sequência INVERSA, ao transformarmos corrente de linha para corrente de fase, a corrente de linha deve estar ADIANTADA de 30° em relação à corrente de fase.

4.   Representação Fasorial das Fases

Vamos estudar como podemos representar matematicamente estes fasores. Existem duas formas de representar: a forma trigonométrica e a forma fasorial.

4.1.   Forma Trigonométrica

A forma trigonométrica é explicitada pela seguinte função:

VAN = Vmax. sen ( ω t + θ)

Vamos ver um exemplo.

VAN = 100. sen ( 200 t + 30°)

Isto quer dizer que o valor máximo da tensão é de 100 volts. O valor de ω é de 200 rad/s. E a tensão está defasada de +30°.

Devemos prestar atenção especial à forma trigonométrica, pois ela exige que o valor da tensão ou corrente que multiplica a função seno ou cosseno, tem que estar como tensão ou corrente de pico ou valor máximo. Assim, se estivermos trabalhando com tensão eficaz ou corrente eficaz, devemos multiplicar o valor eficaz por raiz de dois para calcularmos o valor máximo.

4.2.   Forma Fasorial

Para representarmos na forma fasorial, devemos levar em consideração o módulo da amplitude e explicitar se é valor eficaz ou valor máximo. Além disso devemos conhecer o ângulo da fase da variável. Para representarmos a tensão VAN, do exemplo anterior, devemos escrever:

VAN = 100 ∠30°

Repare que na forma fasorial não temos a informação a respeito de ω. Esta informação, caso necessário, deverá ser informada no enunciado do problema.

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5.   Circuitos em Delta e Estrela

As duas ligações mais utilizadas em circuitos trifásicos são: o circuito Delta, também conhecido como circuito Triângulo e o circuito Estrela, também chamado de circuito Y. A análise a seguir considera um circuito equilibrado.

5.1.   Circuito Estrela

O circuito estrela é caracterizado pela presença do NEUTRO. Assim, temos três fases mais um quarto elemento, o neutro. Portanto, todas as fases estão referenciadas ao neutro. Veja na figura abaixo um exemplo.

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Repare na presença do neutro e as três fases. Recebem a denominação de VAN, VBN e VCN. Perceba que na denominação, a seta aponta sempre para o ponto com maior valor da tensão.

Então, VAN significa que o ponto A tem tensão maior que o ponto N. Observe que o valor das três tensões, em módulo, são exatamente as mesmas, mudando apenas o ângulo de fase.

E o sentido de giro é sempre anti-horário.

Essas três tensões são chamadas de TENSÃO DE FASE, pois cada fase está referenciada ao neutro.

5.2.   Circuito Delta

O circuito Delta caracteriza-se pela ausência de neutro. Desta forma, as tensões são retiradas entre os pontos ABC, e portanto essas tensões são chamadas de TENSÃO DE LINHA. Existe uma relação matemática entre tensão de fase e tensão de linha como veremos mais adiante.

graph81-8J.png

Na figura ao lado temos um exemplo de diagrama trifásico representando as tensões de LINHA.

Perceba que os pontos ABC são ligados por segmentos de reta, originando um triângulo equilátero.

As três tensões de fase, fase AN, fase BN e fase CN, estão aqui representadas por VF, já que todas tem o mesmo valor em módulo. Assim, |VF| = |VAN| = |VBN| = |VCN|.

Com este conceito entendido, podemos estabelecer a relação existente entre tensão de fase e tensão de linha. Repare que os triângulos Δ BON e Δ AON são triângulos retângulo congruentes. Logo, a tensão VF é a hipotenusa dos dois triângulos. Por outro lado, sabemos que o ângulo   OÂN = 30°. O mesmo vale para o ângulo B. Então, usando a relação trigonométrica, temos:

AO = BO = VF cos (30°) = (√3 / 2) VF

Mas, sabemos que:

AB = AO + BO = (√3 / 2) VF + (√3 / 2) VF

E daí, sabendo que AB representa a tensão de linha e VF a tensão de fase, facilmente concluímos que, em módulo, temos:

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eq 81-1

E, naturalmente, dessa expressão podemos escrever que:

eq81-2J.png
eq 81-2
6.   Corrente de Fase e de Linha

Processo semelhante ocorre para correntes em sistemas trifásicos. No circuito Estrela, as correntes de linha são iguais às correntes de fase. E no circuito Delta, a equivalência entre correntes segue o mesmo padrão para tensões elétricas. Logo, em módulo, vale as relações abaixo:

eq81-3J.png
eq 81-3

E, naturalmente, dessa expressão podemos escrever que:

eq81-4J.png
eq 81-4

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